Lintcode 130. Heapify

Given an integer array, heapify it into a min-heap array.

For a heap array A, A[0] is the root of heap, and for each A[i], A[i * 2 + 1] is the left child of A[i] and A[i * 2 + 2] is the right child of A[i].

Example

Given [3,2,1,4,5], return [1,2,3,4,5] or any legal heap array.

Challenge

O(n) time complexity

Clarification

What is heap?

• Heap is a data structure, which usually have three methods: push, pop and top. where "push" add a new element the heap, "pop" delete the minimum/maximum element in the heap, "top" return the minimum/maximum element.

What is heapify?

• Convert an unordered integer array into a heap array. If it is min-heap, for each element A[i], we will get A[i * 2 + 1] >= A[i] and A[i * 2 + 2] >= A[i].

What if there is a lot of solutions?

• Return any of them.

完整参考代码

基于 Siftup 的版本 $O(nlogn)$

Java版本：

public class Solution {
    /**
     * @param A: Given an integer array
     * @return: void
     */
    private void siftup(int[] A, int k) {
        while (k != 0) {
            int father = (k - 1) / 2;
            if (A[k] > A[father]) {
                break;
            }
            int temp = A[k];
            A[k] = A[father];
            A[father] = temp;
            
            k = father;
        }
    }
    
    public void heapify(int[] A) {
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            siftup(A, i);
        }
    }
}

Python版本：

import sys
import collections
class Solution:
    # @param A: Given an integer array
    # @return: void
    def  siftup(self, A, k):
        while k != 0:
            father = (k - 1) // 2
            if A[k] > A[father]:
                break
            temp = A[k]
            A[k] = A[father]
            A[father] = temp
            
            k = father
    def heapify(self, A):
        for i in range(len(A)):
            self.siftup(A, i)

算法思路：

1. 对于每个元素A[i]，比较A[i]和它的父亲结点的大小，如果小于父亲结点，则与父亲结点交换。
2. 交换后再和新的父亲比较，重复上述操作，直至该点的值大于父亲。

时间复杂度分析

1. 对于每个元素都要遍历一遍，这部分是 $O(n)$。
2. 每处理一个元素时，最多需要向根部方向交换 $logn$ 次。

因此总的时间复杂度是 $O(nlogn)$

基于 Siftdown 的版本 $O(n)$

Java版本：

public class Solution {
    /**
     * @param A: Given an integer array
     * @return: void
     */
    private void siftdown(int[] A, int k) {
        while (k * 2 + 1 < A.length) {
            int son = k * 2 + 1;   // A[i] 的左儿子下标。
            if (k * 2 + 2 < A.length && A[son] > A[k * 2 + 2])
                son = k * 2 + 2;     // 选择两个儿子中较小的。
            if (A[son] >= A[k])      
                break;
            
            int temp = A[son];
            A[son] = A[k];
            A[k] = temp;
            k = son;
        }
    }
    
    public void heapify(int[] A) {
        for (int i = (A.length - 1) / 2; i >= 0; i--) {
            siftdown(A, i);
        }
    }
}

Python版本：

import sys
import collections
class Solution:
    # @param A: Given an integer array
    # @return: void
    def siftdown(self, A, k):
        while k * 2 + 1 < len(A):
            son = k * 2 + 1    #A[i]左儿子的下标
            if k * 2 + 2 < len(A) and A[son] > A[k * 2 + 2]:
                son = k * 2 + 2    #选择两个儿子中较小的一个
            if A[son] >= A[k]:
                break
                
            temp = A[son]
            A[son] = A[k]
            A[k] = temp
            k = son
    
    def heapify(self, A):
        for i in range(len(A) - 1, -1, -1):
            self.siftdown(A, i)

算法思路：

1. 初始选择最接近叶子的一个父结点，与其两个儿子中较小的一个比较，若大于儿子，则与儿子交换。
2. 交换后再与新的儿子比较并交换，直至没有儿子。
3. 再选择较浅深度的父亲结点，重复上述步骤。

时间复杂度分析

这个版本的算法，乍一看也是 $O(nlogn)$， 但是我们仔细分析一下，算法从第 n/2 个数开始，倒过来进行 siftdown。也就是说，相当于从 heap 的倒数第二层开始进行 siftdown 操作，倒数第二层的节点大约有 n/4 个， 这 n/4 个数，最多 siftdown 1次就到底了，所以这一层的时间复杂度耗费是 $O(n/4)$，然后倒数第三层差不多 n/8 个点，最多 siftdown 2次就到底了。所以这里的耗费是 O(n/8 * 2), 倒数第4层是 O(n/16 * 3)，倒数第5层是 O(n/32 * 4) ... 因此累加所有的时间复杂度耗费为：

T(n) = O(n/4) + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...

然后我们用 2T - T 得到：

2 * T(n) = O(n/2) + O(n/4 * 2) + O(n/8 * 3) + O(n/16 * 4) ... 
T(n)     =          O(n/4)     + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...

2 * T(n) - T(n) = O(n/2) +O (n/4) + O(n/8) + ...
                = O(n/2 + n/4 + n/8 + ... )
                = O(n)

因此得到 T(n) = 2 * T(n) - T(n) = O(n)